Тригонометрические выражения. Часть 1

Внимание! Теоретический материал для кванта «Тригонометрические выражения. Часть 1» и кванта «Тригонометрические выражения. Часть 2» совпадает. Различаются только тесты и видеоматериалы.Тождественные преобразования тригонометрических выраженийЦель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).Основные формулы тригонометрииПеревод градусной меры угла в радианную и обратно.Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: , .Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

1. .
2. .
3. .

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .

• .
• .
• .

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .

Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .

Ответ: .

• 1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) .

• 1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .2) .3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .4) .5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .6) .

Ответ: .

• 1) ;2) ;3) ;4) ;5) .

• 1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда .2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно, . Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .4) . Окончательно получаем, что .5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .

Ответ: .

• 1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:1 - sin2α = 0,09, откуда:sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.Для этого сумму sin⁴α + cos⁴α представим в специальном виде:sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α  cos²α + cos⁴α) - 2sin²α  cos²α = (sin²α + cos²α)2  - 1/2 α sin²2α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.sin⁶α + cos⁶α = (sin²α)³ + (cos²α)³ = (sin²α + cos²α)(sin⁴α - sin²α  cos²α + cos⁴α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.

• 1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.

1. Пример 6.Найти tg α, если РешениеПроверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):, следовательно,  тогда: раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.Ответ: 7.Пример 7.Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и РешениеКак известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: , то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α< 0.В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: Ответ: Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.Пример 8.Найти значение выражения: .Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.С целью сокращения дроби  воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:.Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:.Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому: Тогда .Окончательно получаем: Ответ: 1.Пример 9.Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем: 
   Ответ: Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.Пример 10.Упростить выражение: .Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление :.Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:.Следовательно, Ответ: Пример 11.Доказать тождество при Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.РешениеВ частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:.Вспомнив, что , получаем Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;при  следовательно, Таким образом: Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: Тогда, , что и требовалось доказать.Пример 12.Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .РешениеВыпишем формулы для вычисления искомых функций:Из основного тригонометрического тождества вычислим: Далее найдем значения искомых выражений:Ответ: Пример 13.Доказать тождество .РешениеПриведем левую часть к 1:
   .Тождество доказано.Пример 14.Вычислить значение выражения:.РешениеОбратим внимание, что Далее, используя формулы приведения, получим: Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций: 
   Итак, значение выражения равно 0.Ответ: 0.Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:.Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.Пример 15.Вычислить cos(4arctg 5).РешениеПусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку: Тогда получаем, что: Ответ: Пример 16.Выразить через все обратные функции РешениеПусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.Найдем все тригонометрические функции угла:В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.Ответ: Пример 17.Найти arcsin (sin 12).РешениеПо условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .Поскольку , угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4π.Пример 18.Вычислить РешениеВведем два угла: Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.Во-первых, Во-вторых, .Следовательно, Ответ: