Степень

Степень с целым показателемЕсли , то степень числа называется произведение равных сомножителей: , где .В этом равенстве a – основание степени, n – показатель степени.Свойства степеней с одинаковыми основаниями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями можно сложить их степени, а основание оставить прежним, т.е.  или .Например: .
2. При возведении степени в степень можно перемножить показатели степеней, а основание оставить прежним, т.е.  или .Например: .
3. При возведении произведения в степень можно возвысить в эту степень каждый сомножитель в отдельности и результат перемножить, т.е. или .Например: .
4. При возведении в степень дроби можно возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, т.е.  или .Например: .
5. , если .
6. .
7. Под степенью  понимается .
8. , если .
9. При делении степеней с одинаковыми основаниями можно от степени числителя вычесть степень знаменателя, оставив основание степени прежним, т.е.  или .

Пусть r — произвольное рациональное число, его можно записать в виде несократимой дроби , где m — некоторое целое число, аn — натуральное число. При любом положительном a верно:

.

Так как  и , то из соотношения вытекает по определению арифметического корня n–ой степени, что .

Таким образом, степень , где принимается за определение степеней с рациональным показателем.

Еще раз подчеркнем, что основание степени  всегда больше нуля.

Если , то:

1.  или .
2.  или .
3.  или .
4.  или .
5.  или .
6. , если .
7. , если .
8. Если  и , то .
9. Если , то  при  и  при .
10. Если , то  при .
11. Если , то  при .