Иррациональные уравнения

Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств — возведение в квадрат. Тем не менее, советуем вам пользоваться им как можно реже, ибо он обладает существенными недостатками: во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, вы расширяете область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней; во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно (особенно если на экзамене не разрешается пользоваться калькулятором). Наконец, главный недостаток этого приема — увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, вы можете избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде вам неизвестны или вообще не существуют.Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид

то для корней должно выполняться условие

(при этом

, и условие

отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.Пример 1.Решить уравнение:

.РешениеКорни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥ 0, то есть х ≥ 2. Возведем обе части в квадрат:

— посторонний корень.Ответ: х = 3.Пример 2.

.Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x² - 7х), можно сделать замену:

, тогда x² - 7х = t² - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t² - 19 + 4 = 0, t² + 2t — 15 = 0,t₁ = 3, t₂ = -5 < 0 — не соответствует условию на знак t.Обратная замена:

Ответ: х = 2, х = 5.Комментарий. Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.Пример 3.Решить уравнение:

.РешениеПодкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена

приводит к уравнению:

Случай 1.

Случай 2.

Ответ:

Комментарий. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.Пример 4.Решить уравнение:

.РешениеПерепишем уравнение в виде:

и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:

Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:

.Проверка.

— корень уравнения.

—

— не корень уравнения.Ответ: х = 16.