Регистрация
Вы успешно зарегистрировались!
вам на почту отправленно письмо активации, пройдите по ссылке из него и сможете авторизоваться
60
На ваш номер телефона было отправлено смс с кодом
или
Я забыл пароль
Вы можете авторизоваться на сайте через:
Google Vkontakte Yandex

Используйте быстрый вход через социальные сети, при условии, что вы уже зарегистрировались через почту и привязали какой-то из сервисов к своей учётной записи.

Уравнения содержащие параметр

В структуру ЕГЭ включены комбинированные задачи с модулем и параметрами. Для решения этих задач необходимо знание понятие «модуль» на повышенном уровне, а также других учебных тем (алгебраические уравнения и неравенства, метод интервалов, графики функций, уравнения и неравенства с параметрами и т.д)Данный раздел содержит задания достаточно высокого уровня сложности, рассмотрение которых не следует рекомендовать абитуриентам, не достаточно подготовленным.Содержание раздела познакомит вас с разнообразными частными приемами и методами решения комбинированных задач, большинство из которых носит исследовательский, поисковый характер, требует высокого уровня математической культуры (именно поэтому все задания снабжены полными решениями и комментариями по использованию соответствующего теоретического материала). При сравнении абитуриентом самостоятельно выполненного решения задачи с решением, приведенном в настоящем разделе, абитуриент познакомится с эталонным оформлением решения комбинированных задач (при проверке ЕГЭ заданий группы С учитывается полнота и оформление решения, которое необходимо представить в обязательном порядке).Модуль. Свойства модуляОпределениеМодуль числа  или абсолютная величина числа  равна , если  больше или равно нулю, и равна , если меньше нуля:Из определения следует, что для любого действительного числа .ТеоремаАбсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел  или .
  1. Если число  положительно, то  отрицательно, т.е. . Отсюда следует, что .В этом случае , т.е.  совпадает с большим из двух чисел  и .
  2. Если  отрицательно, тогда  положительно и , т.е. большим числом является . По определению, в этом случае,  — снова, равно большему из двух чисел  и .
Следствие. Из теоремы следует, что .В самом деле, как , так и  равны большему из чисел  и , а значит, равны между собой.Следствие. Для любого действительного числа  справедливы неравенства .Умножая второе равенство  на  (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .ТеоремаАбсолютная величина любого действительного числа  равна арифметическому квадратному корню из .В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , значит .Если , тогда  и , и в этом случае .Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять  на .Геометрически  означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.Если , то на координатной прямой существует две точки  и , равноудаленные от нуля, модули которых равны.Если , то на координатной прямой  изображается точкой 0.Свойства модуля .Из этого свойства следует, что .Равносильные переходы между уравнениями с модулямиТема «Абсолютная величина» (или «Модуль числа») является наиболее эксплуатируемой в практике комбинированных задач вступительных экзаменов в форме ЕГЭ. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.Посмотрим на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

<

 

 

=

 

 

>

 

Линейные сплайны. Пусть заданы  — точки смены формул. Функция , определенная при всех , называетсякусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , ..., , т.е., где обозначено .Если к тому же выполнены условия согласования , то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.Функцию с рассматриваемом графиком можно задать и одной и тремя формулами:Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой видагде числа , c, ...,  легко найти по графику данной функции.Заметим, что две ломаные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , ...,  совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех «одноименных» звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка  берется за исходную.Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что  равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая вышеобозначенной формулой, будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при  после раскрытия всех модулей в выражении рассматриваемом на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:Вычитая из второго равенства первое, получаем  вычитая из третьего второе, получаем  и т.д. Мы приходим в итоге к соотношениям:Складывая первое равенство с последним, получаем  откуда Итак, если коэффициенты  определяются формулой (3), то угловые коэффициенты всех звеньев графика рассматриваемой функции совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения.Рассмотрим примеры решения комбинированных задач, использующих свойства модуля.Пример 1.В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.Решение.Пусть деревья высотой  растут в точках . Тогда по условию . Следовательно, длина ломаной  не превосходит  м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м.Пример 2.На отрезке  числовой оси расположены четыре точки: . Докажите, что найдётcя точка , принадлежащая , такая, что .Решение. Точки  делят отрезок  не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше . Возьмём за  центр этого интервала. Расстояние от до концов этого интервала не меньше , а до других точек из числа  — больше . Поэтому два из чисел  не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.Пример 3.Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым  и , пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой  от точки  к точке , находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой  от точки  к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.Решение.Через  часов первое тело будет находится от точки  на расстоянии  км, а второе — на расстоянии  км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит  км.Ответ: 0,2 км.