Регистрация
Авторизация
Тригонометрические уравнения
Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том, что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка. Это — далеко не всегда.
При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:
.РешениеОбе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:
.Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:
.В итоге 
, т.е. 
и 
.Однако можно заметить, что значения 
также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина? В основе преобразований формулы, сужающие область определения: 
.(в нашем случае 
и 
).Комментарий. Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.Пример 2.Решить уравнение: 
РешениеПерераспределим компоненты уравнения: 
Далее, в левой части воспользуемся формулой: 
Имеем: 
т.е. 
Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:
Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:
Вновь воспользуемся формулой разности синусов:
Последнее уравнение равносильно совокупности:
Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: 
и 
, если 
, и бесконечно много корней: 
если 
Ответ: Если , то 
Если 
, то 
.Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений
, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.Пример 3.Решить уравнение:
РешениеПусть 
тогда 
. Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:
Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения как сумма степеней тройки всегда положительна, то условие существования корней уравнения:
Решим это неравенство. Если n > 0, то 
Очевидно, что полученная система 
несовместна. Если n ≥ 0, то 
Система 
равносильна неравенству n ≥ 0.Таким образом, учитывая, что 
, получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, … . Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:
Тогда имеем:
Таким образом, 
Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно-тригонометрического) уравнения.Ответ: Пример 4.Решить уравнение: 
РешениеПрежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:
т.е. системой 
Пусть теперь 
. Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: 
это уравнение преобразуется в уравнение: 
Далее, если положить, что 
то имеем простое рациональное уравнение: 
Его единственный корень — y = 1. Значит, 
т.е. 
Отсюда b = a, т.е. 
Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: 
Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.Ответ:
При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:
- 1) в процессе решения применялись алгебраические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (например, сокращение дробей);2) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (речь идет о применении тригонометрических формул, левая и правая части которых имеют различные области определения, например:
;3) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
.РешениеОбе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:.Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:.В итоге , т.е. и .Однако можно заметить, что значения также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина? В основе преобразований формулы, сужающие область определения: .(в нашем случае и ).Комментарий. Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.Пример 2.Решить уравнение: РешениеПерераспределим компоненты уравнения: Далее, в левой части воспользуемся формулой: Имеем: т.е. Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:Вновь воспользуемся формулой разности синусов:Последнее уравнение равносильно совокупности:Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: и , если , и бесконечно много корней: если Ответ: Если , то Если , то .Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.Пример 3.Решить уравнение:РешениеПусть тогда . Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения как сумма степеней тройки всегда положительна, то условие существования корней уравнения:Решим это неравенство. Если n > 0, то Очевидно, что полученная система несовместна. Если n ≥ 0, то Система равносильна неравенству n ≥ 0.Таким образом, учитывая, что , получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, … . Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:Тогда имеем:Таким образом, Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно-тригонометрического) уравнения.Ответ: Пример 4.Решить уравнение: РешениеПрежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:т.е. системой Пусть теперь . Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: это уравнение преобразуется в уравнение: Далее, если положить, что то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень — y = 1. Значит, т.е. Отсюда b = a, т.е. Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.Ответ: