Регистрация
Вы успешно зарегистрировались!
вам на почту отправленно письмо активации, пройдите по ссылке из него и сможете авторизоваться
60
На ваш номер телефона было отправлено смс с кодом
или
Я забыл пароль
Вы можете авторизоваться на сайте через:
Google Vkontakte Yandex

Используйте быстрый вход через социальные сети, при условии, что вы уже зарегистрировались через почту и привязали какой-то из сервисов к своей учётной записи.

Треугольник

Вспомним основные определения и формулы планиметрии, относящиеся к понятию «треугольник».В произвольном треугольнике.Медианой треугольника ()называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Длина медианы треугольника выражается формулой:.Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:.Биссектрисой треугольника ()называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:.Высота треугольника () – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.Длина высотыПризнаки равенства треугольников:
  • по двум сторонам и углу между ними;
  • по стороне и двум прилегающим к ней углам;
  • по трем сторонам.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.(Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.Сумма внутренних углов треугольника:
  • сумма любых двух углов треугольника меньше ;
  • в каждом треугольнике два угла острые;
  • внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;
  • сумма углов треугольника равна ;
  • внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним;
  • сумма острых углов прямоугольного треугольника равна .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.Средняя линия треугольника отсекает от треугольника ему подобный треугольник.Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.Свойства серединного перпендикуляра отрезка:
  • точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;
  • любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.Свойства биссектрисы угла:
  • любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;
  • любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: где  R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.Пусть a, b, c — стороны;   — противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь;  — высота, проведенная к стороне a.Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).
  •  — формула Герона; ,где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:  или  .Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Прямоугольный треугольник.a, b — катеты; c — гипотенуза;  — проекции катетов на гипотенузу:Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:
  • углы, противолежащие катетам — острые;
  • гипотенуза больше любого из катетов;
  • сумма катетов больше гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
  • по катету и острому углу;
  • по двум катетам;
  • по гипотенузе и катету;
  • по гипотенузе и острому углу.
Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.Свойства равнобедренного треугольника:
  • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
  • если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
  • в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
  • если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны . Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой.Равносторонний треугольник:Существование окружности, описанной около треугольника:
  • все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;
  • центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.
Существование вписанной в треугольник окружности:
  • все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности;
  • вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.
Признаки подобия треугольников:
  • по двум углам;
  • по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
  • по трем пропорциональным сторонам.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
  • по острому углу;
  • по пропорциональным катетам;
  • по пропорциональным катету и гипотенузе.
Пример 1.В треугольнике ABC угол C равен AB=10BC=8. Найдите cosA.Решение.Для нахождения cosA необходимо воспользоваться определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника. В рассматриваемом треугольнике  , где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора:  , тогда  , тогда  .Окончательно получаем .Ответ: 0,6.Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером  изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона,  — высота, проведенная к стороне а. Данная задача имеет следующую особенность: высота, проведенная из правой вершины треугольника располагается вне самого треугольника. Однако и в данном случае будет справедлива формула .Обратимся к рисунку: высота треугольника равна 5 см (располагается в данном случае вертикально и равна пяти клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 6 см.Вычислим далее площадь треугольника:  см.