Регистрация

Авторизация

Треугольник

Вспомним основные определения и формулы планиметрии, относящиеся к понятию «треугольник».В произвольном треугольнике.

Медианой треугольника (

)называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Длина медианы треугольника выражается формулой:

.Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:

.Биссектрисой треугольника (

)называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:

.Высота треугольника (

) – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.Длина высоты:

Признаки равенства треугольников:

по двум сторонам и углу между ними;
по стороне и двум прилегающим к ней углам;
по трем сторонам.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.(Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.Сумма внутренних углов треугольника:

сумма любых двух углов треугольника меньше ;
в каждом треугольнике два угла острые;
внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;
сумма углов треугольника равна ;
внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним;
сумма острых углов прямоугольного треугольника равна .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.Средняя линия треугольника отсекает от треугольника ему подобный треугольник.Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.Свойства серединного перпендикуляра отрезка:

точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;
любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.Свойства биссектрисы угла:

любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;
любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними:

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.Пусть a, b, c — стороны;

— противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь;

— высота, проведенная к стороне a.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).

— формула Герона; ,где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

или

.Теорема Пифагора

. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

.Прямоугольный треугольник.a, b — катеты; c — гипотенуза;

— проекции катетов на гипотенузу:

Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:

углы, противолежащие катетам — острые;
гипотенуза больше любого из катетов;
сумма катетов больше гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и острому углу;
по двум катетам;
по гипотенузе и катету;
по гипотенузе и острому углу.

Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.Свойства равнобедренного треугольника:

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны

. Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой.Равносторонний треугольник:

Существование окружности, описанной около треугольника:

все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;
центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.

Существование вписанной в треугольник окружности:

все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности;
вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.

Признаки подобия треугольников:

по двум углам;
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
по трем пропорциональным сторонам.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

по острому углу;
по пропорциональным катетам;
по пропорциональным катету и гипотенузе.

Пример 1.В треугольнике ABC угол C равен

, AB=10, BC=8. Найдите cosA.Решение.

Для нахождения cosA необходимо воспользоваться определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника. В рассматриваемом треугольнике

, где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора:

, тогда

.Окончательно получаем

.Ответ: 0,6.Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером

изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне:

, где а — сторона,

— высота, проведенная к стороне а. Данная задача имеет следующую особенность: высота, проведенная из правой вершины треугольника располагается вне самого треугольника. Однако и в данном случае будет справедлива формула

.Обратимся к рисунку: высота треугольника равна 5 см (располагается в данном случае вертикально и равна пяти клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 6 см.Вычислим далее площадь треугольника:

см.