Комбинированные выражения

1. .Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
2. .Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.
3. .Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .Комментарий.Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .
9. .

1. Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.Пример 1.Вычислить РешениеПредставим  в виде степени числа 5, тогдаДалее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):.Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?): Ответ: 25.Пример 2.Упростить выражение РешениеУпростим показатель степени подкоренного выражения: Тогда Ответ: 27.Пример 3.Упростить выражение: РешениеВначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно,  Тогда: Следовательно, Ответ: 1/2.Пример 4.Найти значение выражения РешениеРазделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности: Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что: Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма: Ответ: 1.Пример 5.Вычислить РешениеДля преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:.Тогда выражение принимает вид: Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4ⁿ:28 = 4*7, 112 = 16*7 = 42*7, 448 = 64*7 = 4³*7.Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов: 
   
   Ответ: 2.Пример 6.Вычислить РешениеПредставим числа 2 и 1 в виде:  Тогда Ответ: 2.Пример 7.Найти  если РешениеОбратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах: Обратим внимание, что , тогда:Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и  Воспользуемся формулами перехода к новому основанию: Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение: Ответ: Пример 8.Известно, что  лежит между числами 8 и 13, а  принимает целые значения. Найти количество этих значений.РешениеПерейдем в обоих логарифмах к основанию b.Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: . Обратим далее внимание, что .Получаем, что Решим методом интервалов неравенство: .Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем: Выполним преобразования полученного двойного неравенства.Прибавим 1 ко всем частям неравенства:  Поскольку  его значения задаются неравенством:  или Следовательно, может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.Ответ: 6.Комментарий. Далее проработаем выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а также комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).