Комбинированные уравнения

Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида

, откуда следует, что

. Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.Пример 1.Решить уравнение:

.Решение.Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:

Ответ:

Пример 2.Решить уравнение: 4^x+2 + 2 ∙ 4^x – 5^x+2 = 5 ∙ 5^x.Решение.Поменяем порядок слагаемых:4^x+2 + 2 ∙ 4^x = 5^x+2 + 5 ∙ 5^x,4^x (16 + 2) = 5^x (25+5),18 ∙ 4^x = 30 ∙ 5^x,

Ответ:

Пример 3.Решить уравнение: 2^х+4 ∙ 3^х = 576.Решение.Преобразуем левую часть: 16 ∙ (2^х ∙ 3^х) = 576 и разделим обе части на 16: 6х = 36, х = 2.Ответ: 2.Пример 4.Решить уравнение:

Решение.Запишем уравнение в виде:

и сделаем замену: t = 2^x (t > 0). Тогда:2t² + 16t – 40 = 0,t² + 8t – 20 = 0,t₁ = 2, t₂ = - 10 < 0 — посторонний корень.Обратная замена: 2^х = 2, х = 1.Ответ: 1.