Регистрация
Авторизация
Комбинированные неравенства
Для решения рациональных неравенств применяют так называемый метод интервалов. Практика вступительных испытаний по математике показывает, что абитуриенты не всегда правильно используют этот метод, понимают его сущность и специфику. В значительной степени это связано с тем, что в учебной литературе встречаются различные подходы к изложению метода интервалов, далеко не всегда удачные. Имеет место путаница с терминами, «странные синтезы» сразу нескольких подходов. Но алгоритм метода интервалов требует строгости и четкости.Будем понимать метод интервалов как метод, применяемый для решения рациональных неравенств строго определенного вида:
где x1, x2, x3, …, xn ϵ R;α1, α2, α3,…, αn ϵ N и V — любой из знаков неравенства >, <, ≥, ≤.Если данное неравенства не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду теми или иными равносильными преобразованиями и лишь затем применять метод интервалов. Назовем указанный вид неравенства стандартным для решения методом интервалов.Введем еще два термина. Пусть 
— множитель, входящий в неравенство, стандартное для решения методом интервалов. Если показатель степени αi — нечетное число, то точку х = xi будем называть простой. Если показатель степени αi — четное число, то точку х = xiбудем называть двойной.Теперь сформулируем алгоритм метода интервалов.Пусть дано неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов. Для его решения:
Подведем итог. Для применения метода интервалов нужно преобразовать неравенство так, чтобы в правой его части стоял 0, а левая была произведением нескольких множителей или дробью, числитель и знаменатель которой разложены на множители. Затем находятся корни каждого множителя (то есть от решения неравенства вы переходите к решению уравнений), и среди них выделяются такие, в которых ни один из имеющихся множителей не меняет знак или меняет знак четное количество множителей. В дальнейшем такие корни, если они найдутся, мы будем называть кратными (хотя это не совсем точно). Для окончательного решения неравенства остается нанести найденные корни на числовую прямую, найти знак левой части неравенства только на одном интервале, ограниченном полученными точками, и расставить знаки на остальных интервалах, меняя их при переходе через простой корень и не меняя при переходе через кратный.Пример 1.Решим неравенство: 
РешениеПриведем данное неравенство к стандартному для решения методом интервалов виду:
Построим разбиение числовой прямой на промежутки:
Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать, конечно, следует. Так, точка -3 должна быть изображена более удаленной от нуля, чем точка 
, а расстояние между точками 
и -3 должно быть значительно меньше, чем расстояние между точками и 6 и т.д. Расставим знаки в промежутках, используя правило чередования:
Из рисунка видно решение неравенства: 
Ответ:
где x1, x2, x3, …, xn ϵ R;α1, α2, α3,…, αn ϵ N и V — любой из знаков неравенства >, <, ≥, ≤.Если данное неравенства не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду теми или иными равносильными преобразованиями и лишь затем применять метод интервалов. Назовем указанный вид неравенства стандартным для решения методом интервалов.Введем еще два термина. Пусть — множитель, входящий в неравенство, стандартное для решения методом интервалов. Если показатель степени αi — нечетное число, то точку х = xi будем называть простой. Если показатель степени αi — четное число, то точку х = xiбудем называть двойной.Теперь сформулируем алгоритм метода интервалов.Пусть дано неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов. Для его решения:
- 1) отметим на числовой прямой точки, соответствующие числам x1, x2, x3,…, xn, разбив тем самым всю числовую прямую на промежутки (интервалы); причем если знак неравенства строгий, то точки отмечаются выколотыми, если знак неравенства нестрогий, то точки отмечаются сплошными;2) на каждом из полученных промежутков выражение
будет сохранять свой знак постоянным; расставим эти знаки пользуясь правилом чередования знаков:
- а) в крайнем правом интервале всегда знак «плюс»;б) при переходе через простую точку знак меняется на противоположный;в) при переходе через двойную точку знак сохраняется;
Подведем итог. Для применения метода интервалов нужно преобразовать неравенство так, чтобы в правой его части стоял 0, а левая была произведением нескольких множителей или дробью, числитель и знаменатель которой разложены на множители. Затем находятся корни каждого множителя (то есть от решения неравенства вы переходите к решению уравнений), и среди них выделяются такие, в которых ни один из имеющихся множителей не меняет знак или меняет знак четное количество множителей. В дальнейшем такие корни, если они найдутся, мы будем называть кратными (хотя это не совсем точно). Для окончательного решения неравенства остается нанести найденные корни на числовую прямую, найти знак левой части неравенства только на одном интервале, ограниченном полученными точками, и расставить знаки на остальных интервалах, меняя их при переходе через простой корень и не меняя при переходе через кратный.Пример 1.Решим неравенство: РешениеПриведем данное неравенство к стандартному для решения методом интервалов виду:Построим разбиение числовой прямой на промежутки:Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать, конечно, следует. Так, точка -3 должна быть изображена более удаленной от нуля, чем точка , а расстояние между точками и -3 должно быть значительно меньше, чем расстояние между точками и 6 и т.д. Расставим знаки в промежутках, используя правило чередования:Из рисунка видно решение неравенства: Ответ: